Persamaan Kuadrat : Cara Memperoleh Akar Persamaan Kuadrat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dinyatakan dengan:

ax² + bx + c = 0,

(Catatan :

Nilai a ≠ 0)
a, b, merupakan koefisien, dan
c adalah konstanta, serta a ≠ 0.

Akar persamaan kuadrat dari ax² + bx + c = 0 merupakan nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut artinya jika menggantikan variabel x dengan nilai akar-akarnya, maka persaman kuadrat akan diperoleh nilai yang sama

Contoh :

Jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat x² – 3x + 2 = 0 adalah - 2 atau - 1. Mengapa? karena jika menginput nilai x = - 2 atau x = - 1 ke persamaan kuadrat di atas akan diperoleh sama dengan nol. Pertanyaannya adalah bagaimana cara kita mendapatkan akar akar persamaan kuadrat tersebut?

Pada psotingan ini akan dibahas tiga cara untuk memperoleh akar-akar persamaan kuadrat, yaitu Faktorisasi, Melengkapi kuadrat sempurna dan rumus kuadrat (dikenal dengan rumus ABC).

1. Faktorisasi atau memfaktorkan

Faktorisasi dalam matematika adalah dekomposisi suatu objek (misalnya, suatu bilangan, polinomial, atau matriks) menjadi suatu produk objek lain, atau faktor, yang ketika dikalikan bersama menghasilkan bilangan asalnya.

Bilangan 35 difaktorkan menjadi bilangan prima sebagai 7 × 5, dan suku banyak (polinomial) x² − 9 difaktorkan menjadi (x − 3)(x + 3).

Contoh :

Tentukan akar-akar dari x² + 3x + 2 = 0

Jawab :
a = 1 ; b = 3 ; c = 2

Artinya, kita akan mencari dua buah bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2 dan jika dijumlahkan menghasilkan 3.

Nilai yang sesuai adalah 1 dan 2, karena 1 × 2 = 2 dan 1 + 2 = 3

Dengan demikian, faktornya adalah (x + 1)(x + 2) = 0

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna

Cara berikutnya yang dapat digunakan untuk menentukan akar persamaan kuadrat, disamping faktorisasi, adalah dengan melengkapkan kuadrat. Ini bisa menjadi salah satu alternatif jika akar-akar persamaan kuadrat memuat bentuk akar (irasional) sehingga sulit untuk difaktorkan.

Melengkapkan kuadrat dapat dilakukan dengan cara mengubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)²

Bentuk diatas dapat dijabarkan menjadi
(x + p)² = x² + 2px + p²

dengan a = 1 , b = 2p dan c = p²

Karena b = 2p, maka p = b/2. Akibatnya, persamaan diatas dapat ditulis menjadi

(x + b/2)² = x² + bx + (b/2)²

Persamaan inilah yang nantinya dijadikan acuan dalam mengubah bentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurna.

3. Rumus Kuadrat atau Rumus ABC

Rumus Kuadrat atau dikenal dengan nama rumus ABC dapat digunakan untuk mendapatkan akar-akar Persamaan Kuadrat yang tergantung dari nilai–nilai a, b dan c didalam koefisien Persamaan Kuadrat dan Rumus Persamaan Kuadrat menggunakan Rumus ABC berikut ini.

Penggunaan rumus dalam menyelesaikan akar persamaan kuadrat boleh dibilang merupakan cara yang paling mudah. Kamu cukup mengganti koefisien x² ke a, koefisien x ke b dan konstanta ke c. Berikut contohnya: